Algebraische Zahlentheorie by Hartmut Laue

By Hartmut Laue

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Zur Folgerung: F¨ ur jedes Primideal P = {0} von R gilt nach (1) und (3): ∗ P ∈ MR (K) . 7 die Voraussetzung der dortigen Folgerung erf¨ ullt ist, ergibt sich aus dieser die Behauptung (b). 12 Satz Sei R ein unit¨arer Teilring eines K¨orpers K mit den Eigenschaften (I), (II), (III). Dann ist jedes Ideal von R ein Produkt von Primidealen. Beweis. Sei X := {J|J ∈ I(R), J ist nicht Produkt von Primidealen von R}. Wir m¨ ussen zeigen, daß X leer ist, und machen die Annahme: X = ∅. 4’ enth¨alt X dann ein maximales Element J0 .

1(3) ist p die einzige in P enthaltene Primzahl. 1(5) ist |G(K)/P | eine Potenz von p, somit char(G(K)/P ) = p = |Z/Z ∩ P |. Wir f¨ ugen zwei Kommentare dazu an: (1) Ist P ein Primideal = {0} von G(K) und p die in P liegende Primzahl, so ist G(K)/P ein endlicher K¨orper der Charakteristik p. Also gibt es ein f ∈ N mit |G(K)/P | = pf . Die Zahl f heißt der Grad des Primideals P. 1(1) endlich sein. 3 Definition Sei R ein unit¨arer Ring. Ein R-Modul M heißt noethersch, wenn jede echt aufsteigende Kette von R-Teilmoduln M1 ⊂ M2 ⊂ M3 ⊂ · · · endlich ist.

7, unter Verwendung des dortigen Zusatzes. 12 ist f¨ ur jedes Ideal = {0} von R die Zerlegung in Primideale von R bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig bestimmt. 12 erw¨ahnte Assoziiertsein der Faktoren f¨allt in der Formulierung des Zusatzes fort, da I ′ (R)∗ = {R} gilt, also jedes Ideal von R nur zu sich selbst assoziiert ist. 15 Definition Eine Halbgruppe H heißt Gauss’sch, wenn H kommutativ und unit¨ar ist, in H die K¨ urzungsregel gilt und jedes Element von H H ∗ Produkt von Primelementen ist.

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