Outer-Art, Vol. III: Prints, Outer-Sculptures, and Digital by Florentin Smarandache

By Florentin Smarandache

"Outer-Art" is a move organize as a protest opposed to, or to ridicule, the random smooth paintings which states that every thing is… paintings!

It was once initiated by way of Florentin Smarandache, in Nineteen Nineties, who satirically referred to as for an upside-down art: to do paintings in a fashion it isn't speculated to be performed, i.e. to make paintings as grotesque, as foolish, as incorrect as attainable, and usually as very unlikely as attainable.

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Zur Folgerung: F¨ ur jedes Primideal P = {0} von R gilt nach (1) und (3): ∗ P ∈ MR (K) . 7 die Voraussetzung der dortigen Folgerung erf¨ ullt ist, ergibt sich aus dieser die Behauptung (b). 12 Satz Sei R ein unit¨arer Teilring eines K¨orpers K mit den Eigenschaften (I), (II), (III). Dann ist jedes Ideal von R ein Produkt von Primidealen. Beweis. Sei X := {J|J ∈ I(R), J ist nicht Produkt von Primidealen von R}. Wir m¨ ussen zeigen, daß X leer ist, und machen die Annahme: X = ∅. 4’ enth¨alt X dann ein maximales Element J0 .

1(3) ist p die einzige in P enthaltene Primzahl. 1(5) ist |G(K)/P | eine Potenz von p, somit char(G(K)/P ) = p = |Z/Z ∩ P |. Wir f¨ ugen zwei Kommentare dazu an: (1) Ist P ein Primideal = {0} von G(K) und p die in P liegende Primzahl, so ist G(K)/P ein endlicher K¨orper der Charakteristik p. Also gibt es ein f ∈ N mit |G(K)/P | = pf . Die Zahl f heißt der Grad des Primideals P. 1(1) endlich sein. 3 Definition Sei R ein unit¨arer Ring. Ein R-Modul M heißt noethersch, wenn jede echt aufsteigende Kette von R-Teilmoduln M1 ⊂ M2 ⊂ M3 ⊂ · · · endlich ist.

7, unter Verwendung des dortigen Zusatzes. 12 ist f¨ ur jedes Ideal = {0} von R die Zerlegung in Primideale von R bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig bestimmt. 12 erw¨ahnte Assoziiertsein der Faktoren f¨allt in der Formulierung des Zusatzes fort, da I ′ (R)∗ = {R} gilt, also jedes Ideal von R nur zu sich selbst assoziiert ist. 15 Definition Eine Halbgruppe H heißt Gauss’sch, wenn H kommutativ und unit¨ar ist, in H die K¨ urzungsregel gilt und jedes Element von H H ∗ Produkt von Primelementen ist.

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